데이터 표현과 산술 연산

오늘의 목표
1.데이터 표현(정수, 실수, 문자) 이해하기
2.산술 연산을 위한 회로 설계 공부

1. 정수 표현

부호 없는 정수 (Unsigned Integer)

특징

0 이상의 양수만 표현
n비트로 0부터 2ⁿ-1까지 표현 가능
모든 비트가 크기를 나타냄
예시
- 0000₂ = 0₁₀
- 0101₂ = 5₁₀
- 1111₂ = 15₁₀

부호 있는 정수 (Signed Integer)

부호-크기 표현 (Sign-Magnitude)

최상위 비트(MSB)가 부호 비트 (0=양수, 1=음수)
나머지 비트가 크기를 나타냄
문제점 : 0이 두 개 (+0, -0), 연산이 복잡
예시 (4비트)
- 0011₂ = +3₁₀
- 1011₂ = -3₁₀

1의 보수 (One's Complement)

양수의 모든 비트를 반전시켜 음수 표현
문제점 : 여전히 0이 두 개 존재
예시
- +3: 0011₂
- -3: 1100₂ (0011의 모든 비트 반전)

2의 보수 (Two's Complement)

현재 가장 널리 사용되는 방식

계산 방법

양수의 1의 보수를 구함 (모든 비트 반전)
1을 더함

예시
- +3: 0011₂
- -3: 1100₂ + 1₂ = 1101₂
0이 하나만 존재
덧셈/뺄셈 회로가 동일
범위: -2ⁿ⁻¹ ~ 2ⁿ⁻¹-1
8비트 2의 보수 범위: -128 ~ +127

오버플로 (Overflow)

표현 가능한 범위를 벗어나는 경우

부호 없는 정수: 자리올림이 발생하면 오버플로
부호 있는 정수: 부호가 바뀌면 오버플로

2. 실수 표현

IEEE 754 표준

구성 요소

부호(Sign): 1비트 (0=양수, 1=음수)
지수(Exponent): 8비트 (단정도), 11비트 (배정도)
가수(Mantissa/Significand): 23비트 (단정도), 52비트 (배정도)

단정도 (32비트)

형식: S EEEEEEEE MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

S: Sign bit (부호 비트) - 1비트
EEEEEEEE: Exponent (지수) - 8비트
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM: Mantissa/Significand (가수) - 23비트

표현 방법

실수를 이진 소수로 변환
정규화 (1.xxxxx × 2ᵏ 형태)
지수에 바이어스(127) 더함
가수에서 정수부 1 제거 (암묵적 1)

예시: 12.75₁₀ 표현
1. 12.75₁₀ = 1100.11₂
2. 정규화: 1.10011 × 2³
3. 지수: 3 + 127 = 130₁₀ = 10000010₂
4. 가수: 10011000000000000000000₂
5. 결과: 0 10000010 10011000000000000000000

특수값

0: 지수와 가수가 모두 0
무한대(∞): 지수가 모두 1, 가수가 0
NaN: 지수가 모두 1, 가수가 0이 아님

정밀도 한계

모든 실수를 정확히 표현할 수 없음
반올림 오차 발생 가능
예: 0.1₁₀을 이진수로 정확히 표현 불가

3. 문자 표현 (Character Representation)

ASCII (American Standard Code for Information Interchange)

특징

7비트 코드 (0~127)
128개 문자 표현
영어 알파벳, 숫자, 특수문자, 제어문자

주요 코드

'0' ~ '9': 48 ~ 57 (30H ~ 39H)
'A' ~ 'Z': 65 ~ 90 (41H ~ 5AH)
'a' ~ 'z': 97 ~ 122 (61H ~ 7AH)
공백: 32 (20H)
줄바꿈(LF): 10 (0AH)

확장 ASCII

8비트 사용 (0~255)
추가 128개 문자 (특수문자, 외국어 문자)

Unicode

배경

ASCII로는 전 세계 모든 문자 표현 불가
다국어 지원 필요

특징

전 세계 모든 문자를 하나의 코드 체계로 통합
현재 약 150,000개 문자 수록
코드 포인트: U+0000 ~ U+10FFFF

인코딩 방식

UTF-8: 가변 길이 (1~4바이트), ASCII 호환
UTF-16: 가변 길이 (2~4바이트)
UTF-32: 고정 길이 (4바이트)

UTF-8의 장점

ASCII와 완전 호환
인터넷에서 가장 널리 사용
영어는 1바이트, 한글은 3바이트로 효율적

4. 산술 논리 장치 (ALU)

ALU의 역할

CPU의 핵심 구성 요소
산술 연산(+, -, ×, ÷)과 논리 연산(AND, OR, NOT) 수행
비교 연산과 시프트 연산도 담당

ALU 구조

입력

A, B: 피연산자 (보통 32비트 또는 64비트)
제어 신호: 수행할 연산 지정
캐리 입력(Cin): 이전 연산의 자리올림

출력

결과(Result): 연산 결과
플래그(Flags): 연산 상태 정보
- Zero Flag (Z): 결과가 0일 때
- Carry Flag (C): 자리올림 발생 시
- Overflow Flag (V): 오버플로 발생 시
- Negative Flag (N): 결과가 음수일 때

ALU 제어

제어 신호 예시 (4비트)

0000: A AND B
0001: A OR B
0010: A + B
0110: A - B
0111: A < B인지 비교

5. 덧셈기 회로 설계

반가산기 (Half Adder)

기능: 2개의 1비트 수를 더함 입력: A, B 출력: Sum, Carry

논리식

Sum = A ⊕ B (XOR)
Carry = A · B (AND)

진리표

A	B	Sum	Carry
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

전가산기 (Full Adder)

기능: 2개의 1비트 수와 이전 자리올림을 더함 입력: A, B, Cin 출력: Sum, Cout

논리식

Sum = A ⊕ B ⊕ Cin
Cout = A·B + Cin·(A ⊕ B)

구현 방법

반가산기 2개를 연결하여 구성 가능

6. 뺄셈기 회로 설계

2의 보수를 이용한 뺄셈

원리: A - B = A + (-B) = A + B의 2의 보수

구현 방법

B의 모든 비트를 반전 (1의 보수)
가산기의 캐리 입력에 1을 넣음
A와 처리된 B를 가산기로 더함

장점

덧셈기 회로를 그대로 활용
별도의 뺄셈 회로 불필요

가감산기 (Adder-Subtractor)

구조

덧셈기에 XOR 게이트 추가
제어 신호로 덧셈/뺄셈 선택

동작

Sub = 0: 덧셈 모드 (B는 그대로 전달)
Sub = 1: 뺄셈 모드 (B는 반전되어 전달, Cin = 1)

7. 곱셈과 나눗셈

곱셈 알고리즘

시프트-덧셈 방법

승수의 각 비트를 검사
1이면 피승수를 더하고, 0이면 건너뜀
매번 피승수를 왼쪽으로 시프트

부스 알고리즘 (Booth's Algorithm)

부호 있는 정수의 효율적인 곱셈
연속된 1을 하나의 덧셈과 뺄셈으로 처리

나눗셈 알고리즘

복원 나눗셈 (Restoring Division)

피제수에서 제수를 빼봄
결과가 음수면 복원하고 몫에 0
결과가 양수면 몫에 1
나머지를 왼쪽으로 시프트하고 반복